Synchronisation contrôlée multifréquence de quatre moteurs inducteurs par la méthode du rapport de fréquence fixe dans un système de vibration

Apr 19, 2023

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 2467 (2023) Citer cet article

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Dans cet article, la synchronisation contrôlée multifréquence de quatre moteurs à induction par la méthode du rapport de fréquence fixe dans un système de vibration est étudiée. Le modèle dynamique de couplage électromécanique du système vibrant est établi. La condition synchrone du système vibrant est obtenue avec la méthode des petits paramètres. Grâce à la dérivation théorique et à la simulation numérique, l'autosynchronisation multifréquence de quatre moteurs à induction dans le système de vibration ne peut pas être réalisée. Pour atteindre l'objectif du mouvement de synchronisation multifréquence, le procédé de synchronisation contrôlée multifréquence est proposé, et un procédé de contrôle PID flou est introduit. La stabilité du système de contrôle est certifiée par le critère de Lyapunov. Un caractère arbitraire de la méthode de contrôle proposée qui est appliquée au système de vibration est présenté. Pour certifier la justesse de la théorie et de la simulation, un banc d'essai vibrant est construit. Quelques expériences sont opérées pour valider l'efficacité et la méthode de synchronisation contrôlée proposée.

Avec le développement de l'économie, la poursuite de l'intérêt semble être particulièrement importante dans l'industrie de la production. Pour atteindre cet objectif, de nombreuses technologies lui correspondant sont présentées. En attendant, les machines vibrantes en tant que branche de l'industrie sont étudiées pour leurs avantages sur l'agriculture, par exemple, le crible vibrant, l'alimentateur vibrant, etc.1,2,3,4. Ces types de machines vibrantes sont généralement structurés selon deux modèles dans l'industrie. Un type de synchronisation forcée est réalisé par des courroies, des engrenages, etc. Ils peuvent mettre en œuvre des vitesses identiques ou différentes parmi les moteurs à induction. L'autre type est basé sur la théorie de l'auto-synchronisation qui est d'abord proposée par Blekhman5,6. Dans leurs recherches, le modèle dynamique est combiné avec la méthode multi-échelle qui est une méthode analytique asymptotique basée sur la méthode moyenne. En utilisant différentes échelles de temps, ils divisent le mouvement vibratoire en deux types de processus qui sont respectivement des processus rapides et lents. Le rapide est relatif à la vitesse du moteur et le lent est relatif à la phase. Ainsi, deux rotors excentriques (ER) entraînés par des moteurs à induction réalisent l'autosynchronisation dans les sens opposés. De toute évidence, les machines vibrantes peuvent être réalisées avec une structure plus simple et à moindre coût par la théorie de l'autosynchronisation. Sur la base des résultats antérieurs, de nombreux chercheurs sont attirés dans ce domaine et il acquiert un développement rapide. Wen et al.7 analysent la caractéristique d'un système vibrant sur la base d'un modèle dynamique à couplage élevé. De plus, ils ont dérivé les conditions synchrones et de stabilité du système vibrant avec le critère de Hamilton. Zhao et al.8,9 établissent le modèle dynamique de couplage électromécanique et convertissent le problème de la condition synchrone en une existence de la valeur propre avec la méthode de la moyenne des petits paramètres. Ils réalisent non seulement le mouvement d'autosynchronisation de deux moteurs dans des sens opposés mais aussi dans les mêmes sens. Les recherches ci-dessus sont implantées dans un seul corps rigide. Zhang et al.1,10,11,12,13 présentent la théorie de l'auto-synchronisation avec plusieurs moteurs (plus de deux moteurs). Dans leurs recherches, le modèle dynamique est établi à partir d'un corps rigide. Avec la condition de synchronisation et les critères de synchronisation de l'auto-synchronisation, l'analyse caractéristique du modèle dynamique est donnée. Leurs résultats de recherche montrent que l'auto-synchronisation d'un système vibrant à trois moteurs ne peut obtenir une amplitude superposée et ce phénomène ne rend pas compte des différences nulles entre trois moteurs. Les problèmes de synchronisation ci-dessus sont tous basés sur la même fréquence de moteurs. Le problème de synchronisation avec des fréquences différentes est présenté par Inoue Junki chi14. Dans leur travail, quatre moteurs sont installés symétriquement sur un vibrostand le long de l'axe vertical plutôt que de l'axe horizontal. Et ils utilisent cette caractéristique asymétrique pour réaliser la synchronisation multifréquence. Cependant, le moth dans Ref.14 ne peut réaliser qu'un seul état synchrone avec le modèle dynamique fixe. Ce résultat ne peut satisfaire les besoins de l'industrie.

Le mouvement d'autosynchronisation qui peut réaliser la différence nulle entre deux moteurs doit satisfaire la condition de synchronisation et les critères de synchronisation. Et ce résultat dépend de la caractéristique dynamique du système vibrant. Pour résoudre ce problème, des méthodes de contrôle sont introduites dans le système vibrant. Kong et al.15,16 introduisent la stratégie et la méthode de contrôle dans le mouvement d'auto-synchronisation et réalisent le mouvement de synchronisation contrôlé. Dans leurs recherches, une stratégie de contrôle maître-esclave et une méthode de contrôle adaptatif en mode glissant sont présentées pour être utilisées dans le modèle dynamique du système vibrant. Avec cette méthode, les différences de moteurs qui ne sont pas nulles dans l'auto-synchronisation peuvent être réalisées à zéro finalement. Outre la méthode ci-dessus, Ishizaki et al.17 utilisent la méthode de contrôle de couplage croisé pour réaliser la synchronisation avec des systèmes à double servo. Visant le système de moteur linéaire double, Lin et al.18 appliquent une méthode de contrôle de mode glissant complémentaire intelligent pour mettre en œuvre une synchronisation à couplage croisé. Attention aux différentes fréquences des moteurs dans le mouvement de synchronisation, Jia et al.19,20 proposent la méthode PID floue adaptative et réalisent le mouvement de synchronisation contrôlé multifréquence. Tian et al.21 illustrent l'estimation rapide et robuste des positions et des vitesses en utilisant une méthode de fonctions de modulation généralisées. Balthazar et al.22 donnent la recherche de l'autosynchronisation de quatre excitateurs non idéaux. Nanha Djanan et al.23,24 étudient le mouvement d'autosynchronisation sur une plaque rectangulaire.

D'après les illustrations ci-dessus, le but de la réalisation des mouvements de synchronisation est d'augmenter les amplitudes du système vibrant en fonction de la caractéristique dynamique. Et ce résultat peut être converti pour réaliser les différences nulles entre les moteurs. Cependant, la synchronisation multifréquence ne peut être réalisée qu'avec une fréquence entière (2 ou 3 fois). Pour résoudre ce problème, une synchronisation contrôlée multifréquence de quatre moteurs à induction par la méthode du rapport de fréquence fixe est proposée et la structure principale de cet article est fournie. Dans la section "Modèle mathématique et analyse de synchronisation", le modèle dynamique du système vibrant à quatre moteurs est établi. Et puis la condition de synchronisation et les critères du système vibrant sont tous deux obtenus dans le cycle multiple le moins commun avec la méthode des petits paramètres. Dans la section "Conception du système de contrôle", la méthode de contrôle PID floue adaptative est introduite dans le système vibrant sur la base d'une stratégie de contrôle maître-esclave et la stabilité du système de contrôle est certifiée par la théorie de Lyapunov. Pour une illustration lisible, quelques simulations et expériences numériques sont présentées dans la section "Résultats numériques et expérimentaux avec discussions" et la conformité entre la simulation et l'expérience est répertoriée. Dans la section "Conclusions", quelques conclusions sur cet article sont données.

Dans cette section, le modèle mathématique du système vibrant est représenté sur la figure 1, qui est établie de bas en haut. Tous les symboles sont répertoriés dans le tableau 1. Un cadre rigide est relié à la fondation par quatre ressorts répartis symétriquement le long de l'axe de coordonnées. Quatre moteurs inducteurs à cage d'écureuil répartis en deux groupes sont fixés symétriquement sur le châssis. Les moteurs 1 et 4 d'un groupe ont la même fréquence et l'autre groupe est composé des moteurs 2 et 3 dont la fréquence est différente du groupe avant. Chaque moteur est installé par quatre boulons à travers des trous circulaires sur le châssis.

Modèle mathématique du système vibrant.

Comme le montre la figure 1, o est le point central du châssis et oi (i = 1, 2, 3, 4) sont respectivement les points d'arbre de quatre moteurs à induction. \(oo_{i} = l_{i}\) (i = 1, 2, 3, 4) sont respectivement les distances entre le point central du châssis o et les points d'arbre de quatre moteurs à induction oi. m est la qualité du châssis et des quatre moteurs à induction. m0 est la qualité complète de chaque ER et mi (i = 1, 2, 3, 4) sont respectivement la qualité réelle de quatre ER. r est le rayon de quatre moteurs. \(\varphi_{i} (i = 1,2,3,4)\) sont l'angle de phase initial des moteurs à induction. \(\theta_{i} (i = 1,2,3,4)\) sont l'angle de position de quatre ER.\(J_{p}\) est l'inertie de rotation du cadre. \(\psi\) est l'angle d'oscillation du système vibrant. Ainsi, l'équation différentielle du système vibrant basée sur l'équation de Lagrange peut être exprimée comme

où \(L = T - V\). L est la fonction de Lagrange. T et V sont respectivement l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. Q et q représentent respectivement la force généralisée et les coordonnées généralisées. \({\mathbf{Q}} = ( - f_{x} \dot{x}, - f_{y} \dot{y}, - f_{\psi } \dot{\psi },T_{e1} - f_{1} \dot{\varphi }_{1} ,T_{e2} - f_{2} \dot{\varphi }_{2} ,T_{e3} - f_{3} \dot{\ varphi }_{3} ,T_{e4} - f_{4} \dot{\varphi }_{4} )^{{\text{T}}}\), \({\mathbf{q}} = (x,y,\psi ,\varphi_{1} ,\varphi_{2} ,\varphi_{3} ,\varphi_{4} )^{{\text{T}}}\).

Dans l'éq. (2), \({\mathbf{x}}_{i} = \left( \begin{rassemblés} x \hfill \\ y \hfill \\ \end{rassemblés} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} {\cos \psi } & { - \sin \psi } \\ {\sin \psi } & {\cos \psi } \\ \end{array} } \right) \left( \begin{rassemblés} l_{i} \cos \theta_{i} + \tau_{i} r\cos \varphi_{i} \hfill \\ l_{i} \sin \theta_{i} + r\sin \varphi_{i} \hfill \\ \end{rassemblés} \right)\).

Éq. combiné. (1) avec Éqs. (2) et (3), le modèle dynamique de couplage électromécanique du système vibrant peut être obtenu.

où \(M = m + \sum\nolimits_{i = 1}^{4} {m_{i} }\) est la masse totale du système vibrant, \(J = Ml_{e}^{2} \approx J_{p} + \sum\nolimits_{i = 1}^{4} {m_{i} } (l_{i}^{2} + r^{2} )\) est l'inertie de rotation équivalente tia du système vibrant. \(l_{e}\) est le rayon de rotation équivalent. \(J_{i} = m_{i} r^{2} (i = 1,2,3,4)\) sont respectivement l'inertie de rotation de quatre moteurs. \(f_{x}\), \(f_{y}\) et \(f_{\psi }\) sont respectivement les coefficients d'amortissement du système vibrant dans les directions \(x\), \(y\) et \(\psi\), \(f_{\psi } = f_{x} l_{y}^{2} + f_{y} l_{x}^{2}\). \(k_{x}\), \(k_{y}\) et \(k_{\psi }\) sont respectivement les coefficients de rigidité du système vibrant dans les directions \(x\), \(y\) et \(\psi\), \(f_{\psi } = f_{x} l_{y}^{2} + f_{y} l_{x}^{2}\). \(f_{i} (i = 1,2,3,4)\), \(T_{ei} (i = 1,2,3,4)\) et \(T_{Li} (i = 1,2,3,4)\) sont respectivement les coefficients d'amortissement, les couples électromagnétiques et les couples résistants de quatre moteurs. L'item TL dans l'éq. (4) peut être dérivé comme Eq. (5).

Dans le but d'illustrer l'item Te dans le modèle dynamique de couplage électromécanique, le modèle de moteur inducteur est donné. Dans cet article, les ER sont entraînés par des moteurs à induction à cage d'écureuil. Avec la caractéristique de ce type de moteur à induction, ses enroulements de rotor interne sont en court-circuit. Ainsi, \(u_{rd} = u_{rq}\). Lorsque le moteur est dans un état stable, \(\phi_{rd}\) = constante et \(\phi_{rq}\) = 0. Selon le document25, le modèle du moteur inducteur peut être exprimé par l'équation. (6).

où, s et r représentent respectivement le stator et le rotor. d- et q- représentent l'axe d et l'axe q dans le cadre de coordonnées en rotation. i, u et R représentent respectivement le courant, la tension et la résistance. Ls et Lr représentent respectivement l'auto-inductance du stator et du rotor. Lm est l'inductance mutuelle du stator et du rotor. Tr est la constante de temps du rotor, \(T_{r} = L_{r} /R_{r}\). Lks est l'inductance de fuite du stator, \(L_{ks} = L_{s} - L_{m}^{2} /L_{r}\). Rks est la résistance équivalente du stator, \(R_{ks} = R_{s} + L_{m}^{2} R_{r} /L_{r}^{2}\). \({\uptheta }\) représente l'angle de liaison de flux synchrone, \({\uptheta } = \int {(\omega + \omega_{s} )} dt\). \(\omega\) représente la vitesse angulaire mécanique. \(\omega_{s}\) représente la vitesse angulaire électrique synchrone, \(\omega_{s} = L_{m} i_{sq} /\phi_{rd} T_{r}\).

Pour réaliser la synchronisation contrôlée, le procédé de contrôle vectoriel est introduit dans le système de contrôle. Et la commande orientée flux du rotor (RFOC) est illustrée à la Fig. 2 pour illustrer le système de commande. Dans la Fig. 2, les signes avec "\(*\)" sont des valeurs initiales et dans l'Eq. (5), \(L_{m}\) et \(\phi_{rd}\) reçoivent des valeurs. \(i_{sd}\) peut être calculé par la formulation \(i_{sd} = \phi_{rd} /L_{m}\). Par conséquent, l'élément Te est lié aux valeurs de rétroaction \(i_{sq}\).

RFOC : régulation orientée flux rotor.

Pour montrer clairement l'analyse de stabilité du système vibrant, l'illustration du modèle dynamique doit être donnée en premier. Dans ce modèle, le moteur 1 et le moteur 4 ont d'abord tourné dans le sens opposé, comme illustré à la Fig. 1. Lorsque les deux moteurs réalisent le mouvement d'autosynchronisation stable avec une différence de phase nulle, l'état stablement synchrone des moteurs 1 et 4 peut être exprimé par \(\omega_{1} - \omega_{4} = 0\) et \(\varphi_{1} - \varphi_{4} = 0\). Ensuite, le moteur 2 et le moteur 3 terminent le même mouvement d'auto-synchronisation que la condition ci-dessus. De la même manière, l'état stablement synchrone des moteurs 2 et 3 peut être exprimé par \(\omega_{2} - \omega_{3} = 0\) et \(\varphi_{2} - \varphi_{3} = 0\). Enfin, les moteurs 1 et 4 réalisent le mouvement de synchronisation multifréquence avec la méthode du rapport de fréquence fixe et l'état stablement synchrone peut être présenté comme \(p\dot{\varphi }_{1} - q\dot{\varphi }_{2}\) = 0 et \(n\varphi_{1} - \varphi_{2}\) = constante. Où, p et q sont des nombres premiers, p/q = n. Ainsi, les vitesses de quatre moteurs peuvent être présentées comme

Prenant l'éq. (7) dans l'éq. (4), les réponses dans les trois directions du système vibrant peuvent être dérivées comme l'Eq. (8).

où \(\omega_{x}^{2} = k_{x} /M\), \(\omega_{y}^{2} = k_{y} /M\), \(\omega_{\psi }^{2} = k_{\psi } /J\), \(\zeta_{x} = f_{x} /(2\sqrt {k_{x} M} )\), \(\zeta_{y } = f_{y} /(2\sqrt {k_{y} M} )\(\zeta_{\psi } = f_{\psi } /(2\sqrt {k_{\psi } J} ) \), \(\mu_{xi} = 1 - \omega_{x}^{2} /\omega_{i}^{2}\), \(\mu_{yi} = 1 - \omega_{y} ^{2 } /\omega_{i}^{2}\), \(\mu_{\psi i} = 1 - \omega_{\psi }^{2} /\omega_{i}^{2}\ ), \ (r_{li} = l_{i} /l_{e}\), \(\tan \gamma_{xi} = 2\zeta_{x} \omega_{x} /(\mu_{xi} \ omega_{i } )\), \(\tan \gamma_{yi} = 2\zeta_{y} \omega_{y} /(\mu_{yi} \omega_{i} )\), \(\tan \ gamma_{\ psi je} = 2\zeta_{\psi } \omega_{\psi } /(\mu_{\psi je} \omega_{i} )\, \(r_{m} = m_{0} / M\), \(\eta_{i} = m_{i} /m_{0} (i = 1,2,3,4)\).

Avec la méthode des petits paramètres, le petit paramètre \(\varepsilon\) est introduit dans l'Eq. (4). Et puis, Éq. (4) peut être converti en Eq. (9).

où \(\omega_{0}\) est la vitesse moyenne des moteurs dans l'auto-synchronisation. La méthode de calcul de \(\overline{T}_{ei} = T_{e0i} - k_{e0i} \overline{\varepsilon }_{i} (i = 1,2,3,4)\) peut être obtenue à partir de la Réf.15. En supposant que \(\dot{\varphi }_{1} = (p + \varepsilon_{1} )\omega_{0}\), \(\dot{\varphi }_{2} = (q + \varepsilon_{2} )\omega_{0}\), \(\dot{\varphi }_{3} = (q + \varepsilon_{3} )\omega_{0}\), \(\dot{ \varphi }_{4} = (p + \varepsilon_{4} )\omega_{0}\), \(\ddot{\varphi }_{1} { = }\dot{\varepsilon }_{1} \omega_{0}\), \(\ddot{\varphi }_{2} { = }\dot{\varepsilon }_{2} \omega_{0}\), \(\ddot{ \varphi }_{3} { = }\dot{\varepsilon }_{3} \omega_{0}\), \(\ddot{\varphi }_{4} { = }\dot{\varepsilon }_{4} \omega_{0}\), les couples de charge moyens peuvent être exprimés comme

Le coefficient et les éléments constants sont tous répertoriés dans l'annexe A en ligne.

À partir de l'annexe A en ligne, on peut savoir que lorsque deux moteurs à induction ont la même fréquence (auto-synchronisation), l'effet de couplage existe. Sinon, il n'y a pas d'effet de couplage entre deux moteurs. Étant donné que le moteur 1 et le moteur 4 réalisent un mouvement d'autosynchronisation, la différence de phase moyenne peut être exprimée sous la forme \(\varphi_{1} - \varphi_{4} = 2\alpha_{1}\). Sur la base de la même théorie, la différence de phase moyenne entre le moteur 2 et le moteur 3 peut être exprimée par \(\varphi_{2} - \varphi_{3} = 2\alpha_{2}\). Prenez les éléments Te et TL dans Eq. (10) et développez-le à \(\alpha_{1}\) et \(\alpha_{2}\) respectivement. En attendant, omettez les termes non linéaires d'ordre supérieur et supposez que \(\varepsilon_{5}\) et \(\varepsilon_{6}\) sont respectivement la petite perturbation de paramètre de deux groupes de moteurs à induction. L'équation (11) peut être obtenue.

où, \({\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}c}{a^{\prime}_{11}} & 0 & 0 & {a^{\ prime}_{14}}&0&0\\0&{a^{\prime}_{22}}&{a^{\prime}_{23}}&0&0&0\\0& {a^{\prime}_{32 }} &{a^{\prime}_{33}}&0&0&0\{a^{\prime}_{41}}&0&0& {a^{\prime}_{44}} &0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\ \\end{tableau}} \right)\), \({\mathbf{B}} = \left({\begin{tableau}{*{20}c}{b^{\prime}_{11} } & 0 & 0 & { b^{\prime}_{14}} & {b^{\prime}_{15}} & 0\\0&{b^{\prime}_{22}}&{ b^{\prime} _{23}}&0&0&{b^{\prime}_{26}}\\0&{b^{\prime}_{32}}&{b^{\prime}_{33 } }&0&0&{b^{\prime}_{36}}\\{b^{\prime}_{41}}&0&0&{b^{\prime}_{44}}& {b^{\prime} _{45}}&0\\{\omega_{0}/2}&0&0&{-\omega_{0}/2}&0&0\\0&{\ omega_{0} /2} & { - \omega_{0} / 2} & 0 & 0 & 0 \\\end{array}} \right)\), \({\dot{\overline{\mathbf{ \item psilon }}}} = \left( {\begin{array }{*{20}c} {\dot{\overline{\itempsilon }}_{1} } & {\dot{\overline{\itempsilon } }_{2} } & {\dot{\overline{\ itempsilon }}_{3} } & {\dot{\overline{\itempsilon }}_{4} } & {\dot{\overline{\itempsilon }}_{5} } & {\dot{\overline{ \varepsilon }}_{6} } \\\end{tableau} } \right)^{{\text{T}}}\), \( {\overline{\mathbf{\itempsilon}}} = \left ( {\begin{array}{*{20}c} {\overline{\itempsilon}_{1} } & {\overline{\itempsilon}_; {2} } & {\overline{\itempsilon}_{ 3} } & {\overline{\itempsilon }_{4} } & {\overline{\itempsilon }_{5} } & {\overline{\itempsilon }_{6} } \\ \end{tableau} } \right)^{{\text{T}}}\), \({{\varvec{\uppsylon}}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\upsilon_{1 }} & {\upsilon_{2}} & {\upsilon_{3}} & {\upsilon_{4}} & 0 & 0 \\\end{array } } \right)^{{\text{T}} }\). \(a^{\prime}_{ij}\), \(b^{\prime}_{ij}\) et \(\upsilon_{i}(i = 1,2,3,4)\) sont répertoriés dans l'annexe B en ligne.

Lorsque le système vibrant atteint l'état synchrone stable, les petits paramètres \(\varepsilon = 0\) et \(\dot{\varepsilon } = 0\). Ainsi, la condition synchrone de quatre ER peut être exprimée comme Eq. (12).

où \(T_{eNi} (i = 1,2,3,4)\) sont respectivement les couples électromagnétiques nominaux de quatre moteurs à induction. En raison de l'état synchrone stable, le résultat de \({{\varvec{\upupsilon}}} = 0\) peut être obtenu. Prenez \({{\varvec{\upupsilon}}} = 0\) dans l'équation. (12), puis Éq. (13) peut être acquise.

Comme le montre l'éq. (11), parce que la matrice A est une matrice non singulière et le déterminant \(\left| {\mathbf{A}} \right| \ne 0\), la matrice A est inversible. Ensuite, l'éq. (13) peut être exprimé comme Eq. (14).

où \({\mathbf{D = A}}^{{ - {1}}} {\mathbf{B}}\). En raison de \(\left|{\lambda{\mathbf{I}} - {\mathbf{D}}}\right|{\mathbf{=}}{0}\), l'équation caractéristique de la matrice peut être représenté comme

où \(d_{j} (j = 1,2,3,4,5,6)\) et \(\lambda\) sont respectivement des coefficients et des valeurs caractéristiques de l'équation caractéristique.

Lorsque l'équation caractéristique satisfait la condition du critère de Hurwitz, l'état synchrone du système vibrant est stable. Sinon, il est instable.

Dans cette section, le système de contrôle du système vibrant est illustré à la Fig. 3. La stratégie de contrôle maître-esclave est introduite dans la structure contrôlée et la méthode PID floue est utilisée dans la méthode de contrôle vectoriel des moteurs à induction26,27. Le moteur 1 est considéré comme le moteur maître du système. Les moteurs 2 et 4 sont tous deux considérés comme les moteurs esclaves du moteur 1. En attendant, le moteur 3 est considéré comme le moteur esclave du moteur 2.

Schéma de principe du système de contrôle.

Pour certifier la faisabilité du système de contrôle, la Fig. 3 doit être illustrée. \(\omega_{t}\) comme vitesse cible est d'abord donnée, puis par la méthode PID floue, la vitesse du moteur 1 \(\omega_{1}\) peut être obtenue avec RFOC 1. Il existe trois fonctions de \(\omega_{1}\). L'un est transmis au moteur 1 en tant que valeur de retour. Une autre est donnée au moteur 2 comme valeur d'entrée. L'autre est utilisé pour obtenir \(\varphi_{1}\) par la méthode intégrale. Avec la même fréquence, le système de contrôle est suivi à travers la phase, tandis qu'il est suivi à travers la vitesse avec la méthode du rapport de fréquence fixe. Ainsi, les vitesses et les phases des moteurs 2, 3 et 4 peuvent être acquises.

Etant donné qu'il existe deux situations de traçage sur la figure 3 qui sont respectivement le traçage de vitesse et le traçage de phase, la stabilité du système de commande doit être discutée séparément. Dans la situation de suivi de vitesse, la vitesse du moteur est définie comme la variable d'état, \(\omega = \dot{\varphi }\). Prendre \(\omega = \dot{\varphi }\) dans Eq. (4), donc Eq. (4) peut être exprimé comme

où \(K_{Ti} = L_{mi} \phi_{rdi} /L_{ri} (i = 1,2,3,4)\), \(u_{i}\) car la variable de contrôle représente \(i_{qsi}^{ * }\), \(i = 1,2,3,4\). \(W_{i} = - T_{Li} (i = 1,2,3,4)\) représente les charges incertaines. \(J_{i} (i = 1,2,3,4)\), représente respectivement l'inertie de rotation de quatre moteurs. En combinant la vitesse cible donnée \(\omega_{t}\) sur la Fig. 3 avec la vitesse réelle \(\omega\), l'erreur de vitesse du moteur peut être exprimée comme suit

Ensuite, l'erreur de traçage du système peut être représentée par \({\boldsymbol{E}} = [e,\dot{e}]^{{\text{T}}}\). Selon l'éq. (16), la loi de commande du système peut être conçue comme

où \({\boldsymbol{K}} = [k_{p} ,k_{i} ]^{{\text{T}}}\). La fonction \(\hat{f}(x)\) peut être exprimée comme \(\hat{f}(x|\theta_{f} ) = \theta_{f}^{{\text{T}}} \xi (x)\) qui est basé sur le coefficient de pondération \(\theta_{f}\). Ainsi, la loi adaptative du système de contrôle peut être conçue comme Eq. (19).

où P est une matrice définie positive. Considérant \(\Omega_{f}\) comme un ensemble convexe pour assurer que le coefficient de poids optimal \(\theta_{f}^{ * }\) lui appartient et que le coefficient de poids \(\theta_{f}\) est borné. Et puis, \(\theta_{f}^{*}\) peut être structuré comme

Prenant l'éq. (18) en éq. (16), l'équation en boucle fermée du système de contrôle est conçue comme

où \({\mathbf{b}} = \left( \begin{rassemblés} 0 \hfill\\1 \hfill\\end{rassemblés}\right)\), \({{\varvec{\Lambda} } } = \left({\begin{array}{*{20}c}0&1\\{-k_{p}}&{-k_{i}}\\end{array}}\right) \).

Comme indiqué dans la section "Conception du système de couplage électromécanique", étant donné que le système de contrôle est un système de rétroaction, l'erreur de vitesse et l'erreur de phase doivent être prises en compte. Ainsi, l'éq. (21) peut être converti en Eq. (22) qui est l'équation d'erreur approximative avec Eqs. (18) et (19).

où \(\Gamma = \hat{f}(x|\theta_{f}^{*} ) - f(x)\) est l'erreur approximative minimale.

Pour acquérir les valeurs minimales de E et \(\theta_{f} - \theta_{f}^{*}\), une fonction de Lyapunov est construite comme Eq. (23).

où \(\zeta\) est un nombre réel positif. Q en tant que matrice définie positive est introduite pour satisfaire la stabilité de l'équation de Lyapunov.

Fixer \(V_{1} = E^{{\text{T}}}{\mathbf{P}}E/2\), la dérivée \(\dot{V}_{{1}} = - E ^{{\text{T}}} {\mathbf{Q}}E/2 + (\theta_{f} - \theta_{f}^{*} )^{{\text{T}}} E^ {{\text{T}}} {\mathbf{P}}b\xi(x) + E^{{\text{T}}} {\mathbf{P}}b\Gamma\). De même, définissez \({\mathbf{V}}_{2} = (\theta_{f} - \theta_{f}^{*})^{{\text{T}}}(\theta_{f} - \theta_{f}^{*} )/(2\zeta )\), puis la dérivée \({\dot{\mathbf{V}}}_{2} = (\theta_{f} - \ theta_{f}^{*} )^{{\text{T}}} \dot{\theta}_{f} /\zeta\). Sur la base du critère de Lyapunov, la dérivée de l'équation peut être exprimée comme \({\dot{\mathbf{V}}} = {\dot{\mathbf{V}}}_{{1}} + {\dot {\mathbf{V}}}_{{2}}\), amenez \({\mathbf{V}}_{1}\) et \({\mathbf{V}}_{2}\) dans \({\mathbf{V}}\), il peut être dérivé comme \(\dot{V} = - E^{{\text{T}}} {\mathbf{Q}}E/2 + E^ {{\text{T}}} {\mathbf{P}}b\Gamma\). Lorsque les valeurs de \(\Gamma\) qui peuvent satisfaire la condition \({\dot{\mathbf{V}}}\le 0\) existent, le système est stable.

Avec la même méthode ci-dessus, la certification de stabilité de l'erreur de vitesse et de l'erreur de phase avec les autres moteurs peut être obtenue.

Dans cette section, quelques exemples représentatifs de simulation numérique sont donnés. Les résultats montrent que l'auto-synchronisation multifréquence ne peut pas être réalisée. Cependant, la synchronisation contrôlée multifréquence peut être réalisée par la méthode PID floue. Et puis, les mêmes résultats sont donnés avec les expériences. Les paramètres des simulations et des expériences sont répertoriés dans les tableaux 2 et 3.

Sur la base du modèle de la Fig. 1, la fréquence des moteurs 1 et 4 est réglée à 30 Hz et la fréquence des moteurs 2 et 3 est à 45 Hz. Les résultats de simulation de la Fig. 4a représentent que les vitesses de quatre moteurs atteignent les vitesses données. D'après la figure 4b, cela représente que la phase entre les moteurs 1 et 4 est approximativement égale à zéro. Ce résultat montre que deux moteurs mis en rotation dans un sens opposé avec la même fréquence peuvent atteindre l'état de synchronisation stable. De même, la phase entre les moteurs 2 et 3 tend également vers zéro sur la figure 4c. Avec la théorie non linéaire, lorsque le système peut atteindre \(p\dot{\varphi }_{1} - q\dot{\varphi }_{2}\) = 0 et \(p\varphi_{1} - q\varphi_{2}\) = constant, l'autosynchronisation multifréquence peut être réalisée. Cependant, la différence de phase sur la figure 4d est une courbe monotone et \(p\varphi_{1} - q\varphi_{2} \ne\) constante. Ce résultat signifie que l'autosynchronisation multifréquence du système de vibration ne peut pas être réalisée. Les figures 4e,f sont respectivement les réponses dans les trois directions. Les résultats de la Fig. 4 sont cohérents avec le modèle dynamique.

Autosynchronisation multifréquence avec quatre ER, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1,5. (a) Vitesse, (b) différence de phase entre les moteurs 1 et 4, (c) différences de phase entre les moteurs 2 et 3, (d) différences de phase entre les moteurs 1 et 2, (e) réponse dans les directions x et y, (f) réponse dans la direction ψ.

Avec les résultats ci-dessus, l'auto-synchronisation multifréquence ne peut pas être réalisée. Ainsi, la méthode du rapport de fréquence fixe est introduite dans le système vibrant. Comme le montre la figure 5a, il s'agit des vitesses de quatre moteurs. La vitesse donnée du moteur 1 est de 60 rad/s, les vitesses des moteurs 2, 3 et 4 atteignent respectivement 90 rad/s, 90 rad/s et 60 rad/s avec la méthode de commande. La figure 5b est la charge de couple de quatre moteurs à induction. Les valeurs des charges de couple sont comprises entre − 2 et 2, de sorte que le phénomène de rotor bloqué et de surcharge avec les moteurs ne peut pas apparaître. Tous les moteurs à induction peuvent fonctionner sans à-coups. Sur la figure 5c, la phase entre les moteurs 1 et 4 est presque égale à zéro, ce qui illustre que les moteurs 1 et 4 atteignent l'état synchrone stable. La figure 5d représente les différences de phase entre le moteur 1 et les moteurs 2 et 3. Les différences de phase sont toutes deux égales à des constantes. Ce résultat montre que la synchronisation contrôlée est réalisée avec la méthode du rapport de fréquence fixe. Les figures 5e,f sont des réponses dans les trois directions. Sur la figure 5e, deux groupes de moteurs tournent tous deux dans le sens opposé. Ainsi, les forces dans la direction y s'opposent et l'amplitude dans la direction y est presque nulle, tandis que les amplitudes dans la direction x se superposent. Ce résultat est en accord avec la théorie dynamique proposée. Sur la figure 5f, la réponse dans la direction ψ tend vers zéro. Ce phénomène montre qu'il n'y a pas d'oscillation dans le système vibrant. Grâce à la Fig. 5, on peut savoir que le système vibrant atteint l'état synchrone stable et la synchronisation contrôlée est réalisée avec la méthode du rapport de fréquence fixe. Pour garantir le caractère arbitraire du paramètre n, une autre simulation dont le paramètre est modifié de 1,5 à 1,2 est présentée sur la Fig. 6. Sur la Fig. 6, les charges de couple de quatre moteurs satisfont toujours les exigences de fonctionnement basées sur les valeurs entre − 1 et 1. À travers les vitesses et les différences de phase sur les Fig. 6a,c,d, les résultats montrent que le système vibrant peut réaliser la synchronisation contrôlée avec le paramètre n = 1,2. Bien que la réponse de la direction y sur la figure 6e soit différente de la réponse sur la figure 5 en raison du paramètre différent n, les réponses des trois directions sont toujours cohérentes avec le modèle dynamique. Ainsi, le système vibrant peut réaliser la synchronisation contrôlée stable. Ce résultat démontre le caractère arbitraire du paramètre uniquement si les conditions de charges de couple sont satisfaites.

Synchronisation contrôlée avec quatre ER, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1,5, \(\eta = 50\%\). (a) Vitesses, (b) couples de charge, (c) déphasage entre les moteurs 1 et 4, (d) déphasages entre le moteur 1 et les moteurs 2 et 3, (e) réponses dans les directions x et y, (f) réponse dans la direction ψ.

Synchronisation contrôlée avec quatre ER, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1,2, \(\eta = 50\%\). (a) Vitesses, (b) couples de charge, (c) déphasage entre les moteurs 1 et 4, (d) déphasages entre le moteur 1 et les moteurs 2 et 3, (e) réponses dans les directions x et y, (f) réponse dans la direction ψ.

Afin de valider la justesse de la théorie proposée, les principaux équipements expérimentaux sont listés sur la Fig. 7 dans un premier temps. Les fréquences de quatre moteurs inducteurs sont réglées par quatre convertisseurs de type Siemens MM440. Les PLC (automate programmable industriel) sont connectés aux convertisseurs. Les trois accéléromètres sont collés sur le banc d'essai vibrant et reliés au DASP (Data acquisition & signal processing) dont un autre port est relié à un ordinateur. Et puis, l'expérience d'auto-synchronisation multifréquence est donnée sur la base de n = 1,2 à comparer avec la simulation de la Fig. 4. Comme le montre la Fig. 8, les fréquences de quatre moteurs sont respectivement fixées à 30 Hz, 36 Hz, 36 Hz et 30 Hz. A partir de (a), les vitesses sont stables et atteignent la valeur préréglée. Bien que la différence en (b) soit comprise entre −5 et −12, les moteurs 1 et 4 peuvent être reconnus pour réaliser le mouvement d'autosynchronisation dû à l'erreur d'expérience. Un résultat similaire est illustré à la figure (c). Comparé au résultat en (d) de la figure 4, (d) de la figure 8 montre le même résultat que la courbe de la différence de phase entre les moteurs 1 et 2 est également monotone. Ainsi, l'auto-synchronisation multifréquence ne peut pas être réalisée. Les réponses des trois directions dans (e) et (f) sont conformes au résultat de la simulation et de la théorie. Cette expérience indique que l'autosynchronisation multifréquence ne peut pas être réalisée quel que soit n égal à.

Équipement d'expérimentation du système vibrant. (a) Le banc d'essai vibrant, (b) l'acquisition de données et le traitement du signal, (c) les capteurs d'accélération, (d) l'interrupteur magnétique Hall, (e) l'automate programmable, (f) les convertisseurs.

Expérience d'autosynchronisation multifréquence avec quatre ER, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1,2, \(\eta = 50\%\). (a) Vitesses, (b) différence de phase entre les moteurs 1 et 4, (c) différences de phase entre les moteurs 2 et 3, (d) différences de phase entre les moteurs 1 et 2, (e) réponse dans la direction x, (f) réponse dans la direction y1, (g) réponse dans la direction y2.

Sur la figure 9, l'expérience de synchronisation contrôlée est illustrée sur la base du paramètre n = 1,5. D'après les Fig. 9a–c, le moteur 1 avec 4 et le moteur 2 avec 3 réalisent tous deux la synchronisation contrôlée. Sur la figure 9d, la différence de phase entre les moteurs 1 et 2 tend vers une constante, ce qui confirme que la synchronisation contrôlée est réalisée. Sur la figure 9e, la réponse est évidemment plus petite que la réponse sur la figure 9g, donc ce résultat indique que le système vibrant réalise l'état synchrone stable. La courbe de réponse de (e) sur la figure 9 est similaire à la courbe de (e) sur la figure 5 et ce résultat expérimental correspond à la simulation.

Expérience de synchronisation contrôlée avec quatre ER, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1,5, \(\eta = 50\%\). (a) vitesses, (b) différence de phase entre les moteurs 1 et 4, (c) différences de phase entre les moteurs 2 et 3, (d) différences de phase entre les moteurs 1 et 2, (e) réponse dans la direction x, (f) réponse dans la direction y1, (g) réponse dans la direction y2.

L'article étudie la synchronisation contrôlée multifréquence de quatre moteurs à induction avec la méthode du rapport de fréquence fixe basée sur un corps rigide masse-ressort. Grâce au modèle dynamique dérivé, les conditions de stabilité et de synchronisation du système vibrant sont toutes deux obtenues. Ce résultat indique que bien que l'auto-synchronisation avec la même fréquence puisse être réalisée, l'auto-synchronisation multifréquence du système vibrant ne peut pas être réalisée dans le modèle dynamique de la Fig. 1. Certaines simulations numériques et expériences sont données pour certifier la cohérence du résultat. En introduisant le procédé de rapport de fréquence fixe proposé dans le système de commande, la synchronisation commandée multifréquence est réalisée. Grâce à l'analyse de robustesse, la stabilité du système de contrôle est certifiée pour éclairer la faisabilité de la méthode de contrôle. La conformité de la théorie par les simulations et les expériences est illustrée. Le résultat indique que seulement si les conditions de charges de couple peuvent être satisfaites, le caractère arbitraire du paramètre de fréquence fixe peut être réalisé avec la méthode proposée. De plus, le procédé de synchronisation contrôlée multifréquence fournit une nouvelle manière de résoudre le problème du crible vibrant multifréquence dans l'industrie.

Les ensembles de données générés au cours de l'étude en cours ne sont pas accessibles au public tant que le financement du projet dans cet article n'est pas terminé, mais sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

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Les recherches de l'auteur sont soutenues par le projet général du département de l'éducation du Liaoning 2022 (projet n° LJKMZ20220602) et le soutien à la recherche scientifique 2021 pour les talents de haut niveau de l'université Shenyang Ligong (1010147001001). L'APC a été financé par les mêmes bailleurs de fonds.

École de génie mécanique, Université Shenyang Ligong, Shenyang, 110159, Chine

Lei Jia, Chun Wang et Ziliang Liu

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LJ a terminé l'établissement du modèle dynamique, les expériences et a écrit le manuscrit principal. CW a préparé toutes les figures et tous les tableaux. ZL a terminé les simulations. Tous les auteurs ont examiné le manuscrit.

Correspondance à Lei Jia.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Jia, L., Wang, C. & Liu, Z. Synchronisation contrôlée multifréquence de quatre moteurs à induction par la méthode du rapport de fréquence fixe dans un système de vibration. Sci Rep 13, 2467 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-29603-y

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Reçu : 01 novembre 2022

Accepté : 07 février 2023

Publié: 11 février 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-29603-y

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